REPÚBLICA DE
ANGOLA
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
MAGISTÉRIO MUTU YA KEVELA
CADERNO
DE EXERCÍCIOS
21
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
E
54
PROPOSTOS
CÁLCULO
DIFERENCIAL
12ª CLASSE
ENSINO PRIMÁRIO E PRÉ-ESCOLAR
LUANDA, 2020
EL
TEMAS PROGRAMADOS
Unidade II – Cálculo de Diferencial
1-
Conceito de derivada
2- Interpretação geométrica da derivada. Casos particulares do
estado das rectas
3- Inclinação e declive ou
coeficiente angular de uma recta
4- Recta que passa pela origem
dos eixos coordenadas
5- Rectas paralelas aos eixos
6- Equação da recta que passa por um ponto
com declive dado
7- Equação da recta a uma curva num ponto
8- Derivada de uma função num ponto – ok 2
9-
Interpretação física da derivada: Velocidade. Aceleração.
Taxa de variação
10-
Derivabilidade e continuidade
11-
Derivadas laterais
12-
Função derivada. Regras de derivação – ok 5
13-
Derivada de uma constante – ok 7
14-
Derivada da variável independente (função identidade) – ok 8
15-
Derivada da soma – ok 9
16-
Derivada de um produto – ok 10
17-
Derivada do produto de uma constante por uma função
18- Derivada de uma potencia de expoente
natural
19-
Derivada de um quociente. Casos particulares – ok 11
20- Derivada de uma potencial de
expoente inteiro racional
21- Derivada de uma função composta
Subtema: 1-
Conceito de derivada
Observando a figura e partindo da
noção da distância entre dois pontos 
e 
), sabemos
que:
·
O Declive m
da recta é definida por: 
ou 
·
A Taxa
de variação média é definida por:
·
A Velocidade
média é definida por:
ou 
·
A Aceleração
média é definida por: 
ou 
y t
P f A expressão 
chama-se
Razão incremental de f
no ponto
P0 fazendo 
, teremos
0 
x 
Em geral o conceito de derivada
advem do limite da razão incremental.
Razão
incremental: passa para derivada: 
,
Resumindo:
1)
Declives
das secantes: passa para
declive da tangente: 
,
2) Velocidades médias: passa para
velocidade instantânea: 
,
3)
Acelerações
médias: 
passa para
aceleração instantânea: 
,
Definição:
O valor do limite da razão incremental chama-se derivada da função f no
ponto
de abcissa 
.
A derivada representa-se
por
; ou 
; ou 
ou
ou 
Do declive da recta secante,
calculando o seu limite, obtemos o declive da tangente que será o limite dos
declives das secantes quando h tende para zero
Exercicios resolvidos
Subtema: 2- Interpretação
geométrica da derivada
2.1-
Declive ou coeficiente angular de uma recta
Geometricamente, a derivada
de uma função num ponto de abcissa é igual ao declive da recta
tangente ao gráfico da função no ponto 
A equação da
recta tangente que passa por um ponto 
é
O declive ou coeficiente angular é 
Exercicios resolvidos
2.2- Recta que passa pela origem dos eixos ordenados
Da equação da recta tangente fazendo 
temos
A equação da recta que passa pela
origem 
O declive ou coeficiente angular é 
Exercicios resolvidos
2.3- Recta paralelas aos eixos ordenados
Da equação da recta tangente fazendo 
temos
(1)
A
equação da recta paralela ao eixo y (recta vertical) 
O declive ou coeficiente angular é 
Da equação da recta tangente fazendo 
temos
(2)
A
equação da recta paralela ao eixo x (recta horizontal) 
O declive ou coeficiente angular é 
Exercicios resolvidos
2.4- Equação da recta que passa por um ponto com
declive
dado
2.5- Equação da recta tangente a uma curva num ponto
2.6- Derivada de uma função num ponto
Definição:
Chama-se derivada da função ao declive
da tangente ao gráfico
da função 
no ponto de abcissa .
Exercicios resolvidos
1) Calcula,
a partir da definição, a derivada da função definida por 
, no ponto de abcissa 1
Resolução:
Por
definição 
ora
Substituindo,
2) Aplicando
a definição de derivada, determina a derivada, no ponto de abcissa 2, da função
g definida por 
Resolução
3) Dada
a função definida em R por 
calcula, a partir da definição, a derivada de
h no ponto de abcissa 3
Resolução
Levantando a indeterminação,
4)
Sendo 
a função representada no gráfico, determine os
declives das 3 tangentes
f
4 B
C
3
2
1 A.
-4
-3 -2 -1
0
1
2 3
4
Resolução
a) tangente
no ponto A(2,1)
declive = 
b) tangente
no ponto B(4,4)
declive = 
c) tangente
no ponto C(-4,4)
declive = 
Exercicios
propostos
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1.
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Dada a função |
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2.
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Tendo a função a) o declive da recta
tangete ao gráfico no ponto (2, -2) b) uma equação da
recta tangente à curva nesse ponto c) uma equação da “normal” |
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3.
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Dada a função |
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4.
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Escreve ao 5 primeiros termos das seguintes sucessões a)
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5.
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6.
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7.
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8.
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9.
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10.
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11.
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12.
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Temas: 2.3-
Função derivada
2.4- Método geral do cálculo de derivadas
Definição:
A função derivada ou simplesmente derivada de uma função 
é uma
outra função em que
·
o
domínio é o conjunto de todos os pontos onde tem derivada finita
·
cada
ponto do seu dominio faz corresponder a derivada da função nesse ponto
2.4- Regras gerais do cálculo de derivadas
a)
derivada
da função constante
b)
derivada
da função identidade
c)
derivada
da função afim
d)
derivada
do produto duma constante por uma função
e)
derivada
de uma soma de funções
f)
derivada
de uma soma de funções
g)
derivada
de um produto de funções
h)
derivada
de uma soma potência
Exercicios
resolvidos
Exercicios
propostos
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13.
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Escreve os 5 primeiros termos de cada sucessão b)
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14.
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Escreve ao 5 primeiros termos das seguintes sucessões c)
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15.
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Escreve ao 5 primeiros termos das seguintes sucessões d)
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16.
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Escreve ao 5 primeiros termos das seguintes sucessões e)
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17.
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18.
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19.
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20.
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21.
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22.
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23.
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24.
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